Función cuadrática... ¿Para qué nos sirve?

Seguramente has tenido que estudiar la función cuadrática y has dicho... "¿para qué me sirve?", "¿Por qué la tengo que estudiar?", "Jamás la voy a usar", entre otras célebres frases.

Hoy veremos distintas aplicaciones de esta famosa función y verás que comenzarás a verla en diferentes ámbitos de tu vida...

Antes que nada, es recomendable que comiences por imprimir el siguiente cuadro y a medida que vayas comprendiendo a esta maravillosa función lo vayas completando, piénsalo como un ayuda memoria.

Ahora sí, comencemos...

Lo primero que tenemos que saber es de qué estamos hablando, para ello debemos aprender que una función cuadrática es una función  polinómica de grado dos, la cual cuando la graficamos posee la forma de una parábola, como las que podemos ver en las siguientes imágenes:

Existen tres formas de expresar esta función:

  • Forma polinómica: Esta forma es la más común y la más usada. Se expresa el polinomio de manera desarrollada. El dato importante que nos brinda es la ordenada al origen (el valor de c), y la pendiente (el valor), la cual nos indica la concavidad de la misma, es decir si a es positivo, decimos que la parábola está feliz, caso contrario, la parábola estará triste. Si aun no lo comprendes, sigue leyendo y ya lo verás.
  • Forma factorizada: Como su nombre lo indica, es la forma factorizada del polinomio y nos da como dato, el valor de la pendiente y las raíces de la función, es decir los valores donde cortarán al eje x. Para poder hallar las raíces de una función cuadrática debemos utilizar la fórmula resolvente o fórmula de Bhaskara.
  • Forma canónica: La forma canónica nos da como información el eje de simetría, el cual funcionará como un espejo y el vértice de la función. Para poder expresarla de esta manera, debemos hallar el valor del eje de simetría (xv) , el cual lo podemos obtener con el valor que nos brinda la forma polinómica así como también el valor de las raíces, ya que el eje de simetría siempre estará a la mitad de ambas raíces; y el vértice (yv).

Pero... ¿para qué nos sirve todo esto?, veamos un problema aplicado y comencemos a resolverlo:

Los árboles del pueblo fueron atacados por un hongo. Al cabo de un tiempo, los técnicos de control de plagas encontraron que la cantidad de árboles infectados podía describirse, en forma aproximada, a través de la función: 

donde N es la cantidad de árboles afectados y t es la cantidad de días transcurridos desde el inicio de la plaga. 

  • Realiza un gráfico aproximado e indica su dominio e imagen.

Para poder contestar esta pregunta y graficar, primero debemos hallar las raíces, la ordenada al origen, el eje de simetría y el vértice:

Ahora ya podemos graficar la función:

Cuando averiguamos el dominio, tenemos que indicar qué valores puede tomar la función. En este caso, como hablamos de días, el dominio sería desde que la plaga surgió, es decir, aproximadamente 27 días antes que los técnicos de control pudieran hacer el cálculo de los árboles infectados; hasta que la plaga muere, que sería aproximadamente luego de 37 días del cálculo. En conclusión, el dominio sería: [-27,01;37,02].

Para averiguar la imagen debemos observar qué valores nos devuelve la función en ese intervalo del dominio. En conclusión, será desde 0 árboles atacados por los hongos hasta un valor máximo de 2050 árboles infectados, por lo tanto, la imagen será: [0;2050].

  • Expresa la función en forma polinómica, canónica y factorizada.

Como ya averiguamos los datos que necesitabamos para graficar, simplemente nos queda expresar la función en estas tres formas:

  • ¿Cuántos árboles estaban afectados cuando detectaron la plaga?

Esta pregunta es muy fácil, detectaron la plaga el día 0, por lo tanto en ese momento, había 2000 árboles infectados.

  • ¿En qué momento la plaga desaparecerá?

Como dijimos anteriormente, la plaga desaparecerá a los 37 días aproximadamente.

  • ¿En qué intervalo de tiempo la plaga aumenta?

Cuando nos preguntan en qué intervalo de tiempo la plaga aumenta, nos están pidiendo el intervalo de crecimiento. En este caso, la plaga aumentará desde que inició hasta los 5 días luego de qué fue descubierta.

  • ¿Cuál es la mayor cantidad de árboles afectados? ¿En qué día será?

En este caso, nos están indicando el máximo valor al cual va a llegar la función, es decir, a los 5 días y serán 2050 árboles.

  • ¿En qué intervalo de tiempo la plaga disminuye?

Como podemos observar en el gráfico, la plaga comienza a disminuir luego de 5 días de que fue detectada.

  • ¿En qué intervalo de tiempo la plaga afectó los árboles? Sombrea la zona.

En este caso hablaremos del conjunto de positividad, es decir, todos aquellos valores de x donde la función devuelve valores positivos. En este caso, el conjunto de positividad será desde que comienza la plaga hasta que mueres, es decir, (-27,02;37,02)

  • ¿En qué momento la plaga afectará 1600 árboles? ¿Y 1800 árboles? ¿Qué forma de expresión te permite saberlo? Representa los puntos en el plano.

Como la cantidad de árboles está representada por el valor de y, necesitamos despejar el valor de x, por lo tanto la única forma de expresión donde tenemos un solo valor de x es la forma canónica. En conclusión, es la que utilizaremos para el primer caso. Te dejamos el segundo para que lo practiques:

En conclusión, la plaga afectará 1600 árboles, 10 días antes que la plaga se detecte y 20 días después.

  • ¿Cuántos árboles se verán afectados a los 12 días? ¿Y a los 24? Representa los puntos en el plano.

En este caso podemos utilizar cualquiera de las tres formas y simplemente reemplazar en t por el valor de los días.

Como verás, una simple problemática como la plaga que puede afectar a un árbol puede ser representada como una función cuadrática y los distintos elementos que la componen nos servirán para poder analizarla.

Para que sigas practicando, te dejamos una serie de problemas a resolver, ¡mucha suerte!

Si quieres seguir practicando, haz clic en el siguiente enlace: