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Operaciones con inecuaciones

Sabemos que las inecuaciones son desigualdades algebraicas en la que sus dos miembros se relacionan por uno de los siguientes signos: < , ≤ , > , ≥ .

A continuación trabajaremos con distintos tipos de inecuaciones y veremos cómo resolver cada una.

Inecuaciones cuadráticas 

Para resolver inecuaciones cuadráticas, lo primero que debemos hacer es despejar la
inecuación para que, de un lado, quede 0 y luego poder aplicar la fórmula resolvente para
factorizar la inecuación.
Veamos un ejemplo: 

Aplicamos la fórmula resolvente y factorizamos el polinomio:  

Como tenemos un producto y ese producto tiene que ser mayor a 0, utilizaremos la regla de
los signos:

+.+=+
-.-=+
Teniendo en cuenta esto, expresamos las inecuaciones de la siguiente manera:
𝑥 - 4 > 0 ∩ 𝑥 - 2 > 0     ∪     𝑥 - 4 < 0 ∩ 𝑥 - 2 < 0
𝑥 > 4 ∩ 𝑥 > 2     ∪     𝑥 < 4 ∩ 𝑥 < 2

S=(-∞;2)  ∪  (4;+∞)

Inecuaciones racionales
Las inecuaciones racionales se resuelven de un modo similar a las inecuaciones cuadráticas
pero hay que tener presente que el denominador no puede valer 0.
Por ejemplo, si tenemos la siguiente inecuación:  

Para que el resultado sea positivo, tanto el numerador como el denominador tiene que ser
positivos o ambos negativos, es decir, seguiremos trabajando con la regla de los signos solo que, a diferencia de las inecuaciones cuadráticas, en las racionales el denominador no puede valer 0 por lo tanto, en este caso, no se incluirá el valor que anula el denominador. Esto solo ocurrirá en aquellas inecuaciones donde se incluye el extremo.

𝑥 - 2  ≥ 0  ∩  𝑥 - 4 >  0         ∪           𝑥 - 2 ≤  0 ∩ 𝑥 - 4 < 0

𝑥  ≥ 2  ∩  𝑥 > 4                 ∪              𝑥  ≤ 2   ∩   𝑥  < 4

S=(-∞;2] ∪ (4;+∞)

Ecuaciones con módulo
Para resolver las ecuaciones con módulo debemos recordar que el valor absoluto de un
número real "a" es su distancia a 0, por lo tanto:  

Veamos un ejemplo:

| 𝑥 - 3| = 2

-2 = 𝑥 - 3 = 2

-2 + 3 = 𝑥 = 2 + 3

1 = 𝑥 = 5

Inecuaciones con módulo
Para resolver inecuaciones con módulo debemos recordar que el valor absoluto de un número
real "a" se escribe |𝑎|, es el mismo número a cuando es positivo o cero y opuesto de a si es
negativo. En el caso de las inecuaciones tenemos que tener en cuenta que, si el módulo es menor o menor o igual, siempre será la intersección de las posibles soluciones. En cambio si el módulo es mayor o mayor o igual, se tratará de la unión de las dos posibles soluciones.

|𝑥| < 2 → -2 < 𝑥 < 2   →   𝑆 = (-2; 2)

|𝑥| > 2 → 𝑥 > 2 ∪ 𝑥 < -2   →   𝑆 = (-∞; -2) ∪ (2; +∞)